Interpolációra akkor van szükség, ha egy egyértelmű függvénykapcsolat nem képletként, hanem táblázatosan van megadva, és nekünk két táblázatbeli pont közötti értékre van szükségünk. Ez nagyon gyakori fizikai mennyiségek összefüggésénél, hiszen ilyenkor az összefüggést képletként nem lehet meghatározni, ugyanakkor sok összetartozó adatot meg lehet találni táblázatos formában. Az 1. ábrán például a kék függvényt csak a piros pontokban ismerjük. Ekkor szükségünk lehet arra, hogy pl. közelítőleg meghatározzuk a függvény értékét az x=5,328 pontban.
1. ábra | 2. ábra | 3. ábra |
Az ilyen feladatra sokféle megoldás létezik, a legegyszerűbb a lineáris interpoláció, amikor a függvényértékeket 2-2 pont között egyenes szakaszokkal közelítjük (2. ábra). A 3. ábra a táblázat két pontpárját mutatja, ezek (x0,y0) és (x1,y1), meghatározandó az x értékhez tartozó y pont. Mivel az (x0,y0), (x1,y1), (x1,y0) és az (x0,y0), (x,y) és (x,y0) háromszögek hasonlók, a megfelelő oldatalak (befogók) arányaira igaz, hogy
Ebből megfelelő átalakításokkal azt kapjuk, hogy
.
(Próbáljuk ki a képletet y=y0, ill. y=y1 behelyettesítéssel!) A képlet alkalmazásánál figyeljünk az előjelekre, ha x növekedtével y csökken, akkor a második tag negatív lesz (az előjelhibák elkerülhetők, ha ellenőrizzük, hogy y y0 és y1 között van-e). Ha nincs olyan x0, x1 párunk, amelyek között helyezkedik el a nekünk fontos x érték, akkor a tartományon kívül eső x-re is számolhatunk a fent ismertetett módon (x<x0 vagy x>x0), ilyenkor extrapolációról beszélünk (ez a gyakorlaton is előfordulhat, ha pl. a laborhőmérséklet nem 20 és 25 fok között van). Jegyezzük meg, hogy az extrapoláció általában rosszabb közelítést ad, mint az interpoláció, mégpedig annál rosszabbat, minél távolabb van x az x0 ill. x1 értékektől.
A gyakorlaton olyan probléma is van, amikor kettős interpolációt kell végezni, a mért (a táblázatban valószínűleg nem szereplő) sűrűségből az adott (valószínűleg a táblázatban szintén nem előforduló) laborhőmérsékleten kell meghatározni a tömegkoncentrációt (Pr. 3.1.). Ekkor az interpolációt lépésenként végezzük, vagyis a mért sűrűséggel úgy számolunk, mintha 20ºC-on ill. 25ºC-on mértük volna, majd az így kapott két adatból interpolálunk a tényleges laborhőmérsékletre.
(A leírás a Wikipedia Interpolation és Linear Interpolation címszavainak felhasználásával készült)
Számozott ismeretlen NaCl-oldat, desztillált víz
Piknométer, cseppentőcső, analitikai mérleg (3 tizedesre mérő elég)
Pr. 3.1.
Gondos kivitelezés esetén többszöri jelretöltés mellett a mért tömegek nem különböznek jobban 0,5-1 mg-nál. Hibaforrások: jelreállítás pontatlansága (pl. túltöltés, alultöltés, a piknométer kívül vagy a jel fölött nedves marad, buborék marad a folyadékban), piknométer hőmérsékletének megváltozása (pl. erős napfényre tesszük, az alsó, folyadékot tartalmazó részt kézzel megfogjuk).
A mért és számított adatokat ezen a linken kérjük elkönyvelni, évfolyam szintű statisztika készítéséhez.
tömény savoldat, desztillált víz
Areométer, mérőhenger, főzőpohár
Miután sűrűségmérés alapján megállapítottuk a rendelkezésre álló töményebb kénsavoldat pontos összetételét, kiszámítjuk, hogy hány gramm tömény kénsavoldatot és hány gramm vizet kell elegyíteni, hogy a kívánt mennyiségű és összetételű oldatot kapjuk. Ezután a tömény kénsavoldat és a víz sűrűségének ismeretében kiszámítjuk a térfogatokat, mert a tömény sav és a víz térfogatának mérése kényelmesebb és gyorsabb, mint tömegének pontos bemérése. A hígítást nem közvetlenül a kémszeres üvegben, hanem szigorúan csak főzőpohárban vagy lombikban végezzük úgy, hogy a mérőhengerrel kimért térfogatú vízbe csurgatjuk lassan, vékony sugárban és keverés közben mérőhengerből a számított térfogatú tömény kénsavoldatot. Ha fordítva végeznénk a hígítást, vagyis a vizet öntjük vékony sugárban a kénsavba, akkor a kisebb sűrűségű víz a felszínen marad, a tömény kénsavval érintkező része a nagy reakcióhőtől felforr, és a keletkező gőz robbanásszerűen szétfreccsentheti a maró hatású folyadékot. A kész oldatot csak lehűlés után öntjük át a kémszerüvegbe. A kémszerüvegben azért nem hígíthatjuk a tömény kénsavat, mert a hirtelen bekövetkezett erős felmelegedéstől az öntött üveg, ami nem tűzálló, könnyen megrepedhet. A kapott oldat sűrűségét areométerrel megmérjük.
A kémszerként használt HCl-oldat koncentrációja 2 mol∙dm-3, tömény HCl-oldatból készítjük hígítással. A kereskedelmi tömény HCl-oldat közelítőleg 36%-os, sűrűsége 1.18 g∙cm-3. Ha szükséges, sűrűségmérés alapján ellenőrizzük a HCl-oldat pontos koncentrációját. Tömény sósavoldattal mindig bekapcsolt elszívójú fülkében dolgozzunk, mert az oldatból igen kellemetlen, erősen szúrós szagú HCl-gáz távozik. A hígítást ugyanúgy végezzük, mint ahogy azt a kénsavoldat készítésénél leírtuk.
A kémszerként használt HNO3-oldat koncentrációja 2 mol∙dm-3,
tömény HNO3-oldatból készítjük hígítással. A kereskedelmi tömény HNO3-oldat
közelítőleg 64%-os, sűrűsége 1,40 g∙cm-3. Ha
szükséges, sűrűségmérés alapján könnyen meghatározhatjuk a tömény HNO3-oldat
pontos összetételét. Ha tömény salétromsav-oldattal dolgozunk, ügyeljünk arra,
hogy az a bőrünkre ne kerüljön, mert rövid ideig tartó behatásra is sárga foltot
idéz elő, majd pár nap múlva a bőr azon a helyen lehámlik. Arra is gondoljunk,
hogy a HNO3 bomlásából származó NO2 nagyon mérgező.
Avogadro törvénye szerint adott hőmérsékleten és nyomáson a gázok azonos térfogatai azonos számú részecskét tartalmaznak. Ebből következően, ha azonos térfogatú gázok tömegét azonos állapotban (hőmérséklet, nyomás) megmérjük, akkor ezek aránya megadja a részecskék tömegének (ill. 1 mól (=6·1023 db) részecske tömegének, vagyis a gázok moláris tömegének) arányát:
Gázok sűrűségének arányát relatív sűrűségnek nevezzük. Egy x gáz levegőre vonatkoztatott relatív sűrűsége tehát:
Ismeretlen gáz, levegő
Léggömb, 20cm3-es orvosi fecskendő, analitikai mérleg (4 tizedesre mérő!)
Az orvosi fecskendő zárókupakkal, szára furattal van ellátva. A furatba szög illeszkedik, ennek segítségével az evakuált fecskendő dugattyúja is rögzíthető
Töltsük meg a fecskendőt levegővel. Ehhez a dugattyút ütközésig húzzuk ki, helyezzük a dugattyú szárán lévő furatba a szöget, és ütközésig nyomjuk be a dugattyút, majd helyezzük a fecskendő nyílására a zárókupakot. Mérjük meg így a fecskendő tömegét (→m1). Vigyázzunk, hogy a fecskendő behelyezésekor a mérleget nehogy meglökjük, és a fecskendő vagy az összekötő drót ne érjen a mérleg valamilyen külső alkatrészéhez! Mérjük meg a fecskendő tömegét teljesen benyomott dugattyúállásnál is (→m2; a kupakot és a csapot kihúzzuk, majd a dugattyút teljesen benyomjuk, a kupakot visszahelyezzük). Mérjük meg ezután a fecskendő tömegét üresen, levegő nélkül (→m3). Ehhez a fecskendő kupakját felhelyezzük, a dugattyút határozottan, de óvatosan kihúzzuk, kézzel erősen megtartjuk (ilyenkor a szoba levegőjének nyomása ellenében kell munkát végeznünk, tehát a lépés számottevő erőt igényel), majd a szöget behelyezzük (ilyenkor a szög nem engedi a dugattyút "üres" pozícióba visszatérni. Végül a fecskendőt a vizsgált gázzal töltjük meg úgy, hogy a tároló léggömb száját a fecskendő végére húzzuk, a dugattyút ütközésig kihúzzuk, a csapot behelyezve a dugattyút ütközésig benyomjuk, majd a fecskendőt ledugózzuk. A fecskendőt így is lemérjük (→m4). Ismételjük meg a méréseket, számításkor a két mérés átlagát használjuk.
A fecskendő a dugattyú kihúzásától-betolásától felmelegedhet, ekkor a két gázzal végzett mérés nem azonos állapotban történik. Bedugaszolás előtt levegő diffundálhat be-, ill. vizsgált gáz ki a fecskendőből. Az evakuált fecskendőbe jelentős mennyiségű gáz áramolhat be, ha nincs alaposan lezárva (erre utal, ha az üres fecskendő tömege folyamatosan nő mérés közben, ilyenkor ismételjük meg a fecskendő evakuálását, bedugaszolását). Gondos kivitelezés esetén 1-2%-os pontosságra számíthatunk.
Az oldal készítője: Frigyes Dávid, egyetemi adjunktus (© 2006-2008.) Utolsó módosítás: 2016. szept. 23.